說(shuō)起二次函數(shù),想必不少同學(xué)的腦袋正隱隱作痛吧。這并不奇怪,畢竟二次函數(shù)是初中教學(xué)的重點(diǎn)以及難點(diǎn),很多數(shù)學(xué)成績(jī)很不錯(cuò)的學(xué)生,在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)都會(huì)感到吃力,主要是因?yàn)槎魏瘮?shù)具有抽象性,學(xué)生要將一個(gè)二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)換為一條拋物線,真的很難建立起聯(lián)系。為了方便大家學(xué)習(xí),小編給大家一份二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)。
I.定義與定義表達(dá)式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:
y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時(shí),開口方向向上,a<0時(shí),開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.)<>
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式
一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
頂點(diǎn)式:y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)]
交點(diǎn)式:y=a(x-x1)(x-x2) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x1,0)和 B(x2,0)的拋物線]
注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
III.二次函數(shù)的圖像
在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x2的圖像,
可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質(zhì)
1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線
x = -b/2a。
對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。
特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為
P [ -b/2a ,(4ac-b^2;)/4a ]。
當(dāng)-b/2a=0時(shí),P在y軸上;當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí),P在x軸上。
3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。
當(dāng)a>0時(shí),拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開口。<>
|a|越大,則拋物線的開口越小。
4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。
當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱軸在y軸左;
當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右。<>
5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。
拋物線與y軸交于(0,c)
6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)
Δ= b^2-4ac>0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。
Δ= b^2-4ac<0時(shí),拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。<>
V.二次函數(shù)與一元二次方程
特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2;+bx+c,
當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程),
即ax^2;+bx+c=0
此時(shí),函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。
函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。
畫拋物線y=ax2時(shí),應(yīng)先列表,再描點(diǎn),最后連線。列表選取自變量x值時(shí)常以0為中心,選取便于計(jì)算、描點(diǎn)的整數(shù)值,描點(diǎn)連線時(shí)一定要用光滑曲線連接,并注意變化趨勢(shì)。
二次函數(shù)解析式的幾種形式
(1)一般式:y=ax2+bx+c (a,b,c為常數(shù),a≠0).
(2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數(shù),a≠0).
(3)兩根式:y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根,a≠0.
說(shuō)明:(1)任何一個(gè)二次函數(shù)通過(guò)配方都可以化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k,拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h,k),h=0時(shí),拋物線y=ax2+k的頂點(diǎn)在y軸上;當(dāng)k=0時(shí),拋物線a(x-h)2的頂點(diǎn)在x軸上;當(dāng)h=0且k=0時(shí),拋物線y=ax2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)
如果圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn),并且對(duì)稱軸是y軸,則設(shè)y=ax^2;如果對(duì)稱軸是y軸,但不過(guò)原點(diǎn),則設(shè)y=ax^2+k
定義與定義表達(dá)式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時(shí),開口方向向上,a<0時(shí),開口方向向下。iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大。)<>
則稱y為x的二次函數(shù)。
二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。
x是自變量,y是x的函數(shù)
二次函數(shù)的三種表達(dá)式
①一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)
?、陧旤c(diǎn)式[拋物線的頂點(diǎn) P(h,k) ]:y=a(x-h)^2+k
?、劢稽c(diǎn)式[僅限于與x軸有交點(diǎn) A(x1,0) 和 B(x2,0) 的拋物線]:y=a(x-x1)(x-x2)
以上3種形式可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)化:
①一般式和頂點(diǎn)式的關(guān)系
對(duì)于二次函數(shù)y=ax^2+bx+c,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a,(4ac-b^2)/4a),即
h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b^2)/4a
?、谝话闶胶徒稽c(diǎn)式的關(guān)系
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
二次函數(shù)雖然比較難,但是也不是不可以攻克的,這需要大家付出努力。以上就是二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)匯總,希望對(duì)大家有所幫助。想要了解一次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)們,可以直接點(diǎn)擊查看哦!
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